Mecánica FI2001
Trabajo y energía
Para ciertos ejercicios, la conservación de la energía mecánica nos permite resolver el problema de una forma mucho más simple que usando segunda Ley de Newton.
La fórmula clave con la que resolveremos los problemas es la diferencia de la energía mecánica
\begin{gather} E_B-E_A=W_{AB}^{\textnormal{NC}}\\ \Leftrightarrow K_B + U_B - K_A - U_A=W_{AB}^{\textnormal{NC}} \label{eq:deltaEW} \end{gather}Para utilizar esta ecuación debemos seguir $10$ pasos
- Primer paso: Hacerse una idea de cómo se mueve la partícula
- Segundo paso: Identificar las fuerzas que están actuando sobre la partícula
- Tercer paso: Elegir un sistema de coordenadas adecuado
- Cuarto paso: Expresar matemáticamente las fuerzas en el sist. de coord. elegido
- Quinto paso: Distinguir cuáles fuerzas son conservativas y cuáles son no conservativas
- Sexto paso: Calcular el potencial asociado a las fuerzas conservativas
- Séptimo paso: Calcular el trabajo asociado a las fuerzas no conservativas
- Octavo paso: Expresar la energía cinética con el sist. de coord. elegido
- Noveno paso: Reemplazar todo en (\ref{eq:deltaEW})
- Décimo paso: Conseguir (despejar) las cantidades que nos piden en el problema
Para aterrizar algunos de estos pasos, veremos el siguiente Ejemplo:
Donde un anillo de masa $m$ puede deslizar sin roce por un alambre con forma dada por $y=x^2/x_0$. El anillo está unido a un resorte ideal de constante $k$, largo natural 0 ($l_0=0$), y sujeto al punto $\mathcal{O}$. Además de la fuerza del resorte $\vec{F}_R$ y de la fuerza ejercida por el alambre $\vec{F}_A$, sobre el anillo acúa una fuerza externa
\begin{equation*} \vec{F}_E=\frac{k}{x_0}\left(xy\hat{i}+\frac{3x_0}{4}y\hat{j}\right)\,. \end{equation*}Primer paso
Al igual que en la sección de Dinámica, en algunos problemas tenemos fuerzas de restricción que obligan a la partícula a seguir ciertas trayectorias.
Es un buen ejercicio que intenten imaginarse dónde estaría la partícula en distintos tiempos.
En nuestro Ejemplo es claro que sin importar el valor de las fuerzas $\vec{F}_R$ y $\vec{F}_E$, la partícula siempre se moverá siguiendo la parábola, gracias a la fuerza normal del alambre.
Segundo paso
Hay que hacer un listado de todas las fuerzas que ejercen sobre la partícula para poder describirlas matemáticamente y luego clasificarlas en conservativas y no conservativas.
En nuestro ejemplo tenemos 3 fuerzas: La fuerza del resorte $\vec{F}_R$, la fuerza dada por enunciado $\vec{F}_E$ y la normal del alambre $\vec{N}$.
Tercero paso
El sistema de coordenadas que elijamos depende de dos cosas: (1) la expresión de las fuerzas implicadas y (2) el movimiento de la partícula. No siempre encontraremos "el sistema de coordeandas perfecto", por lo que tienen que equilibrar entre que sea fácil trabajar con las fuerzas y que sea fácil describir el movimiento de la partícula.
En nuestro Ejemplo nos dan la fuerza $\vec{F}_E$ en cartesianas y el movimiento de la partícula ($y=x^2/x_0$) también está en cartesianas, por lo que aunque sea fácil describir la fuerza del resorte en esféricas, trabajaremos con cartesianas.
Cuarto paso
Expresar matemáticamente una fuerza nos permite calcular su potencial asociado y/o el trabajo que ejerce en el movimiento.
En nuestro ejemplo $\vec{F}_E$ ya está descrito matemáticamente, mientras que la fuerza del resorte quedaría como
\begin{equation*} \begin{aligned} \vec{F}_R&=-k\sqrt{x^2+y^2}\hat{r}\\ &=-k\sqrt{x^2+\frac{x^4}{x_0^2}}\hat{r} \end{aligned} \end{equation*}donde $l_0=0$.
Notamos que en $\vec{F}_R$ no descompusimos $\hat{r}$ en cartesianas, ya que ocuparemos su potencial.
Quinto paso
Ya habiendo hecho una lista de todas las fuerzas actuando sobre la partícula y también haberlas descrito matemáticamente, hay que saber cuáles son conservativas y cuáles no conservativas.
De forma general, una fuerza es conservativa si su rotor es 0
\begin{equation*} \nabla\times \vec{F}=0\,, \end{equation*}si cumple esta condición, entonces podemos calcular su potencial asociado (Sexto paso).
Casos típicos de fuerzas conservativas son las radiales, $\vec{F}(\vec{r})=F(r)\hat{r}$ (es directo, por lo que no tienen que hacer la prueba del rotor).
De tener solo fuerzas conservativas, nos ahorramos tener que calcular trabajos, ya que
\begin{equation*} E_A=E_B\, \end{equation*}Ojo que la conservación de energía mecánica no implica que las fuerzas implicadas no hagan trabajo.
En cambio, las fuerzas no conservativas hacen que el sistema pierda energía, por lo que tendremos que calcular su trabajo asociado para obtener la diferencia de energía mecánica (Séptimo paso).
En nuestro Ejemplo, la fuerza normal $\vec{N}$ no es conservativa, mientras que la fuerza del resorte $\vec{F}_R$ es conservativa al ser radial y haciendo la prueba del rotor tendrían que $\vec{F}_E$ no es conservativa.
Sexto paso
A las fuerzas conservativas hay que calcularles su potencial asociado. Para una fuerza conservativa cualquiera, ocupamos la fórmula:
\begin{equation}\label{eq:potencial} U(r)=-\int^r \vec{F}(\vec{r}^{\, \prime})\cdot d\vec{r}^{\, \prime}\,, \end{equation}donde no importa dónde pongamos el punto inicial $\vec{r}_0$, ya que en física solo medimos diferencias de potencial, o sea, nos quedamos solo con la primitiva e ignoramos la constante de integración.
Sin embargo, hay fuerzas conservativas que se repiten en los ejercicios y sus potenciales son conocidos y podemos utilizarlos sin tener calcular con (\ref{eq:potencial}). Algunos potenciales conocidos son:
-
Elástica:
\begin{equation*} U(r) = \frac{1}{2}k(r-l_0)^2 \end{equation*}
-
Gravitacional:
\begin{equation*} U(r)= -G\frac{m_1m_2}{r} \end{equation*}
-
Gravitacional:
\begin{equation*} U(z)= mgz \end{equation*}
-
Coulomb:
\begin{equation*} U(r)= k\frac{q_1q_2}{r} \end{equation*}
En nuestro ejemplo la fuerza conservativa es $\vec{F}_R$ y su potencial sería $U(r)=kr^2/2$ al ser $l_0=0$.
Séptimo paso
Debido a que tenemos la relación
\begin{equation}\label{eq:diferencia-energia} E_B-E_A=W^{\textnormal{NC}}_{AB}\,, \end{equation}donde $W^{\textnormal{NC}}_{AB}$ es el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas desde el el punto $\vec{r}_A$ al punto $\vec{r}_B$.
Entonces debemos calcular el trabajo realizado por cada fuerza no conservativa y sumar cada una de estas contribuciones
\begin{equation*} W^{\textnormal{NC}}_{AB}=\int_{\vec{r}_A}^{\vec{r}_B}\vec{F}^{\textnormal{NC}}_{\textnormal{tot}}\cdot d\vec{r}\,. \end{equation*}Ahora, en un problema nos pueden pedir explícitamente que calculemos el trabajo realizado por una fuerza conservativa $\vec{F}^{\textnormal{C}}$ y podemos hacerlo con la fórmula usual del trabajo
\begin{equation*} W_{AB}=\int_{\vec{r}_A}^{\vec{r}_B}\vec{F}(\vec{r}^{\,\prime})\cdot d\vec{r}^{\,\prime}\, \end{equation*}o podemos hacer uso de la relación
\begin{equation}\label{eq:trabajo-conservativas} \begin{aligned} W^{\textnormal{C}}_{AB}&=\int_{\vec{r}_A}^{\vec{r}_B}\vec{F}^{\textnormal{C}}(\vec{r}^{\,\prime})\cdot d\vec{r}^{\,\prime}\\ &=U(r_A)-U(r_B)\,, \end{aligned} \end{equation}donde $\vec{F}^{\textnormal{C}}=-\nabla U$, o sea, $U$ es el potencial asociado. La fórmula (\ref{eq:trabajo-conservativas}) es válida solo para fuerzas conservativas.
Se pueden preguntar por qué calcular el trabajo de las fuerzas conservativas si es que no aparece en (\ref{eq:diferencia-energia}) y es porque el trabajo total esta dado por
\begin{equation*} W_{AB,\textnormal{tot}}=W^{\textnormal{C}}_{AB}+W^{\textnormal{NC}}_{AB} \end{equation*}y a su vez este trabajo total cumple la relación
\begin{equation*} \begin{aligned} W_{AB,\textnormal{tot}}&=\int_{\vec{r}_A}^{\vec{r}_B}\vec{F}_{\textnormal{tot}}(\vec{r}^{\,\prime})\cdot d\vec{r}^{\,\prime}\\& =K(r_B) - K(r_A)\,, \end{aligned} \end{equation*}o sea nos da la diferencia de la energía cinética, con lo que podemos hacer cosillas...
Octavo paso
La energía cinética para una partícula, de forma general se expresa como
\begin{equation} K=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2\, \end{equation}y en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas sería
\begin{align*} K=& \, \frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2\right)\\ =& \, \frac{1}{2}m\left({\dot{\rho}}^2 + \rho^2{\dot{\phi}}^2 + {\dot{z}}^2\right)\\ =& \, \frac{1}{2}m\left({\dot{r}}^2 + r^2{\dot{\theta}}^2 + r^2{\dot{\phi}}^2\sin^2\theta\right) \,. \end{align*}Cuando tenemos fuerzas de restricción (normales o tensiones), algunos de estos términos van a ser 0 para todo tiempo. Por ejemplo, en un problema que estemos usando cilíndricas y tenemos una distancia radial y altura constante para todo tiempo , entonces $\dot{\rho}=\dot{z}=0\Rightarrow K=m\rho^2\dot{\phi}^2/2$.
Noveno paso
Después de todos estos pasos deberían tener: (1) El potencial asociado a cada fuerza conservativa, (2) el trabajo hecho por las fuerzas no conservativas y (3) la expresión de la energía cinética. Esto deben reemplazarlo en (\ref{eq:deltaEW}) evaluando cada energía en su posición (o tiempo) correspondiente.
Décimo paso
Noten que (\ref{eq:deltaEW}) es solo una ecuación, así que después de haber evaluado cada energía en su posición (o tiempo) correspondiente ($\vec{r}_A$ o $\vec{r}_B$) utilizando la información del enunciado y condiciones físicas, solo deben quedar con una incógnita que es el término que queremos calcular, o sea lo que nos piden por enunciado.
Lo más común es utilizar $E_A$ como la energía en el tiempo inicial, ya que en muchos casos nos dan las condiciones iniciales de la partícula (su posición y velocidad inicial), por lo que podríamos calcular cuánto vale la energía mecánica inicial. Luego el punto $\vec{r}_B$ en el tiempo $t_E$ es dónde nos interesa calcular cosas, por ejemplo, podemos conocer la posición y con esto despejar la velocidad y viceversa.
En resumen, este paso es simplemente despejar una incógnita.