Notes | Dinámica

Este tópico se abarca en todo el resto del curso, por lo que es importante que lo entiendan bien.

La fórmula clave y con la que resolveremos los problemas, es la segunda Ley de Newton

\begin{equation}\label{eq:segundaley} m\vec{a}=\sum_i{\vec{F}}_i\,. \end{equation}

Para utilizar esta ecuación debemos hacer 7 pasos:

Primer paso: Hacerse una idea de cómo se mueve la partícula
Segundo paso: Identificar las fuerzas que están actuando sobre la partícula
Tercer paso: Escoger un sistema de coordendas adecuado para el el movimiento de la partícula
Cuarto paso: Expresar matemáticamente las fuerzas en el sist. de coord. elegido
Quinto paso: Reemplazar las fuerzas y la aceleración en (\ref{eq:segundaley}), con lo que se obtiene la ecuación de movimiento vectorial
Sexto paso: Obtener las ecuaciones de movimiento escalares
Séptimo paso: Conseguir las cantidades que nos piden en el problema

Primer paso

En algunos problemas tenemos fuerzas de restricción, como lo son la fuerza normal de las superficies y la tensión de las cuerdas. Estas fuerzas definen cómo se mueven la partículas en ciertas direcciones, por lo que sabiendo identificarlas podemos hacernos una idea de cómo se moverá la partícula.

Description of the image — Fig.1 Problema de ejemplo

Por ejemplo en este problema vemos que la partícula está restringida a moverse en una circunferencia (de radio $R$ por enunciado) y no tener movimiento en el eje $\hat{k}$

Segundo paso

Algunas fuerzas nos las dan en el enunciado (normalmente fuerzas exóticas con una expresión particular), las otras hay que saber identificarlas, por ejemplo:

- Si la partícula se mueve sobre una superficie, tendríamos fuerza normal

- Si hay dos cuerpos con masa no despreciable, tendríamos fuerza gravitacional

- Si hay cargas eléctricas, tendríamos fuerza de Coulomb

- Etc.

También, para elegir el sist. de coord. necesitamos saber en qué dirección apuntan estas fuerzas, a veces apuntan siempre en cierta dirección y otras veces cambia en el tiempo, si sucede lo último es un indicio que no debemos ocupar cartesianas.

Tercer paso

La elección del sist. de coord. se basa en los pasos 1. y 2.

Debemos elegir un sist. tal que quede lo más simple posible ambos lados de (\ref{eq:segundaley}). Para simplificar el RHS (Right Hand Side) las fuerzas deben quedar descompuestas usando ojalá solo un vector unitario, o sea que las fuerzas apunten en un solo eje del sistema.

Mientras que para el LHS (Left Hand Side), a priori las aceleraciones en cilíndricas y esféricas se ven complicadas, sin embargo para ciertos movimientos (recordar paso 1.) muchos términos de la aceleración son 0.

Para el Ejemplo mostrado, tenemos que el movimiento es en una circunferencia, por lo que si escogemos coordenadas cilíndricas

\begin{equation*} \Rightarrow\dot{\rho}=\ddot{\rho}=0, \end{equation*}

ya que la distancia al origen no cambia en el tiempo. Y como no hay movimiento en $\hat{k}$

\begin{equation*} \Rightarrow\dot{z}=\ddot{z}=0, \end{equation*}

así que la aceleración de este problema con la aceleración en el sistema escogido se simplifica mucho

$$\begin{align*} \vec{a}=&\,\big(\cancelto{0}{\ddot{\rho}} - \rho\dot{\phi}^2\big)\hat{\rho} + \big(2\cancelto{0}{\dot\rho}\dot\phi + \rho\ddot\phi\big)\hat{\phi} + \cancelto{0}{\ddot{z}}\hat{k}\\ =&\, -R\dot{\phi}^2\hat\rho + R\ddot\phi\hat\phi\,. \end{align*}$$

Cuarto paso

Para tener el movimiento circunferencial de la partícula necesitamos fuerzas en $\hat\rho$ y $\hat{k}$ que identificamos como fuerzas normales (independientes entre si) producidas por el aro que reacciona la fuerza de gravedad y al movimiento circular.

Así que las fuerzas actuando sobre la partícula en el sist. de coord. escogido, quedarían descritas como

\begin{equation*} \sum_i\vec{F}_i=N_\rho\,\hat{\rho} + N_z\,\hat{k} + mg\hat{k} \end{equation*}

Quinto paso

Lo más difícil ya está hecho, ahora solo debemos reemplazar lo encontrado la aceleración $\vec{a}$ y las fuerzas $\sum_i \vec{F}_i$, en el ejemplo mostrado sería

$$\begin{align*} -R\dot{\phi}^2\hat\rho + R\ddot\phi\hat\phi=N_\rho\,\hat{\rho} + N_z\,\hat{k} + mg\hat{k}\,, \end{align*}$$

con lo que conseguimos la ecuación de movimiento vectorial.

Sexto paso

Es más fácil trabajar con ecuaciones escalares que con ecuaciones vectoriales. Notamos que como trabajamos con una base de vectores unitarios ortonormales, al multiplicar la ec. de mov. vectorial por alguno de los vectores unitarios, obtenemos una ecuación (escalar) con únicamente los componentes que acompañan a ese vector unitario.

Para nuestro ejemplo tendríamos 3 ecuaciones escalares

\begin{align*} \hat\rho)& \quad -R\dot{\phi}^2=N_\rho\\ \hat\phi)& \quad R\ddot\phi=0\\ \hat{k})& \quad 0=N_z + mg \end{align*}

Para movimientos en 3 dimensiones obtenemos 3 ecuaciones de movimiento, para 2 dimensiones 2 ecuaciones y para 1 dimensión 1 ecuación.

Séptimo paso

En este paso es donde los profes se ponen creativos. En un problema cualquiera les pueden pedir cosas como:

¿Dónde se encuentra la partícula en un tiempo $t$?
Encuentre la velocidad angular de la partícula en función del ángulo
Calcule la expresión de la trayectoria $y=y(x)$
Calcule la tensión de la cuerda cuando la partícula describe un ángulo $\theta=\pi/2$ con respecto a la vertical
Etc

Obviamente, estas son las preguntas que ustedes ven antes de comenzar a matraquear el problema. Sucede que en un principio se pueden ver muy complicadas, sin embargo, siempre van a tener que realizar este procedimiento que les enuncié.

Ya teniendo las ecuaciones de movimiento escalares, pueden encontrar (a veces, no siempre) la posición de la partícula en un tiempo cualquiera (con lo que también tendrían la velocidad derivando una vez) y así encontrar las expresiones de las fuerzas de constricción.

Por ejemplo, en el Ejemplo mostrado, si nos pidieran:

Encuentre la expresión de la fuerza normal en un tiempo cualquiera

Utilizamos las ecs. de mov. escalares. De $\hat\phi)$ integramos dos veces y obtenemos

\begin{equation*} \dot{\phi}(t)={\dot\phi}_0\,, \end{equation*}

donde ${\dot\phi}_0$ es la velocidad angular inicial (la dan por enunciado normalmente), así reemplazando en $\hat\rho)$

\begin{equation*} N_\rho=-R{\dot{\phi}}_0^2\,, \end{equation*}

mientras que de $\hat{k})$ es directo que $N_z=-mg$, por lo que finalmente la fuerza normal sería

\begin{equation*} \vec{N}=-R{\dot{\phi}}_0^2\hat{\rho} - mg\hat{k} \end{equation*}

Fórmulas de fuerzas

Aunque hay problemas que utilizan fuerzas inventadas, hay un conjunto de fuerzas que son bien comunes en los problemas de este curso, recomiendo aprendérselas de memoria y saber cómo utilizarlas.

A continuación algunas de estas fuerzas:

Roce:
\begin{equation*} \vec{F}=-\mu N\,\hat{x} \end{equation*}
Roce viscoso:
\begin{equation*} \vec{F}(\vec{v})=-c\vec{v} \end{equation*}
Elástica:
\begin{equation*} \vec{F}(\vec{r})=-k(r-l_0)\,\hat{r} \end{equation*}
Gravitacional:
\begin{equation*} \vec{F}(\vec{r})=-G\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r} \end{equation*}
Gravitacional (aproximación):
\begin{equation*} \vec{F}=-mg\,\hat{k} \end{equation*}
Coulomb:
\begin{equation*} \vec{F}(\vec{r})=k\frac{q_1q_2}{r^2}\hat{r} \end{equation*}

Mecánica FI2001